「成功」確率を$p$、「失敗」確率を$q$とするベルヌーイ試行を考える。
$r$回「成功」するまでに「失敗」した回数を$X$とするとき、$X$は負の2項分布に従う。
「成功」：◯、「失敗」：×とすると、◯××◯◯××・・・◯×◯となり、必ず最後に◯で終了する。
したがって、「失敗」した回数を$k$とすると、確率分布は以下となる。
$$ \begin{equation}P(X=k|r,p)={}_{r+k-1} \mathrm{C}_k p^rq^k, k=1,2,3,\dots,\end{equation}
$$
（1）が確率分布であることを以下に示す。
[証明]
$$ \frac{1}{1-q}=1+q+q^2+\dots=\sum_{k=0}^{\infty}q^k $$
であるから、両辺を$q$で微分すると
$$ \frac{1}{(1-q)^2}=\sum_{k=0}^{\infty}kq^{k-1}= \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)q^{k} $$
さらに$q$で微分すると、
$$ \frac{2}{(1-q)^3}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+1)kq^{k-1}= \sum_{k=1}^{\infty}(k+1)kq^{k-1}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)q^{k} $$
となる。微分を繰り返し、$r-1$回微分すると、
$$ \frac{(r-1)!}{(1-q)^r}=\sum_{k=0}^{\infty}(k+r-1)\dots(k+1)q^{k} $$
となるから、両辺を$\frac{(r-1)!}{(1-q)^r}$で割ると、$1-q=p$であることに注意して、
$$ 1=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+r-1)\dots(k+1)}{(r-1)!}p^rq^{k}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(k+r-1)!}{k!(r-1)!}p^rq^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} {}_{r+k-1} \mathrm{C}_k p^rq^k $$
となる。したがって、（1）は確率分布である。